谢尔顿猜想被攻克

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论文:
http://math.dartmouth.edu/~carlp/sheldon022119.pdf


http://zhuanlan.zhihu.com/p/65464177


史上收视率最高的美剧《生活大爆炸》终于要在连续播出12年后落下帷幕。正在这个感伤的告别时节,《美国数学月刊》发表了一篇有趣的论文,题目是《谢尔顿猜想的证明》。

在《生活大爆炸》中,谢尔顿注意到一个很有趣的事实,那就是对73与37这两个素数来说,它们正好存在有趣的对称性:P(21) = 73,而如果我们把素数73倒过来写成37、把序数21倒过来写成12,这时P(12) = 37同样成立。

谢尔顿喜欢73这个素数,一个重要原因就在于这背后的镜像对称性



73与37的区别:积性

看到这里,你可能会问:从镜像对称性上来说,73和37的地位是平等的,没有谁高谁低。既然如此,为什么谢尔顿会觉得73比37更具有科学美感呢?

在剧中,谢尔顿没有给出进一步的解释,但现实世界中的数学家却“替”谢尔顿研究起这个问题。

莫宁赛德学院数学副教授克里斯·斯派斯(Chris Spice)与两位数学系学生注意到,73不但具有镜像对称性,它还具有另外一个性质,那就是“积性”(product property)。

积性的定义很简单。一个素数 p(n)如果是有“积性”的,那么,p(n)中的每一位阿拉伯数字的乘积正好等于n

例如:

P(7) = 17,1×7 = 7
P(21) = 73,7×3 = 21
P(181440) = 2475989,
2×4×7×5×9×8×9 = 181440

我们注意到,谢尔顿最喜欢的73是一个具有积性的素数。但是,对于37来说,它虽然有镜像对称性,但却没有积性:3×7 = 21,与序号12不符。

这就是37不如73优美的原因。

当然,这些数学家不会满足于此。在此基础上,他们在2015年的一篇论文中正式提出了谢尔顿猜想:除了73这个素数同时存在镜像对称性与积性,不存在其他素数同时具备这两种性质。

满足该条件的素数,也被称作谢尔顿素数。也就是说,论文作者认为,73是唯一的谢尔顿素数。



证明谢尔顿猜想

谢尔顿猜想的提出看似有点搞笑,因为这就好像说《射雕英雄传》里的黄蓉证明了n阶幻方的存在性定理(具体参看黄蓉与瑛姑的对话那一部分内容)。

但是,不可否认的是,虽然剧中的谢尔顿声称73是“最优美的素数”(the best),但谢尔顿并没有说73是“独一无二”(unique)的。(因为这部剧的科学编剧也不知道73到底是不是唯一的谢尔顿素数。)

直到今年2月,情况终于变了。斯派斯与达特茅斯大学数学教授卡尔·波默朗斯(Carl Pomerance)在《美国数学月刊》上刊发论文,证明了谢尔顿猜想。
两位数学家要解决的问题是,73到底是不是唯一的谢尔顿素数(同时具有镜像对称性与积性)。

由于理论上有无穷多的素数,所以如何缩小搜索的范围,变得十分重要。

在论文中,作者宣称,具有积性的素数,只有上文提到的三个。但要证明这一点,就需要一些数论知识了。其中最重要的是素数定理,因为有了素数定理,就可以知道我们能知道第n个素数大概等于多少。

有了素数定理,根据积性的定义,可以得到一个重要的结论:如果一个素数非常大,那么它肯定不具有积性。从严格的数学推导可以估算出,当素数的位数超过46位的时候,这个素数肯定不可能具有积性。

所以,以10的46次方作为分界线,素数被分为两部分:大于10^46的素数,肯定没有积性,因此证明谢尔顿猜想时可以忽略这部分;而小于10^46的素数是可以具有积性的,它们才是我们应该关心的。

由此,论文作者的搜索范围得到了限制。这个事情比张益唐当年对孪生素数猜想的论证过程要简单得多,因为张益唐要面对的是无穷多个素数,不断缩小范围,最后逼到一个极限。而波默朗斯与斯派斯只需要面对小于10^46的那些小素数。

这两位教授的论文一共有11页。他们在论文中部分依靠数学技巧,部分依靠计算机编程,最后检索完毕,证明了73确实是唯一的谢尔顿素数。

当《生活大爆炸》的科学顾问、加州大学洛杉矶分校物理教授戴维·萨尔茨伯格听说了“谢尔顿猜想”被证明后,他联系上了作者,询问是否可以在接下来的《生活大爆炸》中使用这一结论。也许,在最后一季的最后一集中,我们可以听到谢尔顿亲口说出:“谢尔顿猜想被证明了”!



网友评论:
神了
终于有(似乎)看得懂的论文简介
没看过这剧,为什么会以剧中人的名字来命名这个猜想呢?是之前没人提出过吗?如果之前都没人提出过现在在连续剧里提出了,是因为这个演员还是因为编剧的科学素养比较高?所以为什么不以演员/编剧来命名?

看中间

数学家粉丝提出了猜想,自然爱取什么名取什么名了

肯定是该剧科学顾问提出来的,但是科学顾问的名气肯定远远不如剧中人物的名气,科学的推广也是需要市场化的手段的,以剧中人物命名能够获得的关注度和影响力,不可同日而语。

—— 来自 Essential Products PH-1, Android 9上的 v2.1.2
哈?
真的?
剧中谢尔顿说到的73的性质只是这个猜想的一半。
人家看个剧都能发一篇3区………

----发送自 App for Android.
没看懂,镜像是啥意思

P(12)=37 怎么理解啊

第12个素数是37

—— 来自 Sony G8142, Android 9上的 v2.1.2
丈育能問一下,他們少於10^46是窮舉還是一些數學定理來着?

看了下论文,P(n)指的是所有素数列里第n个素数,P(12)也就是从2开始第十二个素数即37,P(21)是第21个素数即73。谢尔顿发现P(12)和P(21)的结果和它们两个的序数呈现镜像关系所有觉得很有意思。不过P(21)=73比P(12)更胜一步是因为73同时拥有product property,也就是73的每个digit的乘积正好等于其序数。

当然不是穷举……现在最大才计算到10^18以内的全部质数呢……
估计还是用的筛法
哇 好棒

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证明:每一个自然数都有一个独一无二的有趣性质

反证法:令集合S为没有独一无二的有趣性质的自然数的集合,S中的数称为无趣数,若S不是空集,根据自然数的性质,S中必存在一个最小的数 N,因此,N 是最小的无趣数,这恰恰是一个独一无二的有趣性质,与假设矛盾,则原题得证
虽然看文章各种高大上
其实这个玩意儿几乎没有作用吧
证明过程也不是特别难的样子 反而是想到这个的谢尔顿更难

—— 来自 Xiaomi MI 8 SE, Android 8.1.0上的 v2.1.2


这个证明好,就是这个“有趣”的阈值有点低

— from Google Pixel 2, Android 9 of Next Goose v2.1.0-play
好像二维着色问题的那个一样,用一种蛮力对抗某种好玩的定理
P(21) = 73是什么意思?

第二十一个素数是73

发自我的iPhone via Saralin 2.1.7
来自: iPhone客户端

设 P(n) = 第n个素数。
谢尔顿并没有说到这个。还是怪他们证明太慢了